考研中的伽马函数

首先，在概率论里我们经常能遇到一个神秘的不可积的积分：

$$I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \text dt$$

这个积分既不能直接凑出来，也不能使用分部积分法消掉什么；一般，我们会使用升维的方法转化到极坐标来解决这个积分，就大概是下面这样：

$$I^2 = \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \text dx \cdot \int_0^{+\infty} e^{-y^2} \text dy = \iint_D e^{-(x^2+y^2)}\text dx\text dy$$

这样，使用极坐标变换可以得到：

$$I^2 = \int_0^\frac\pi2\text d\theta\int_0^{+\infty}re^{-r^2}\text dr = \frac\pi2\left(-\frac12e^{-r^2}\Bigg|_0^{+\infty}\right) = \frac\pi4$$

显然被积函数恒大于 0，故$I > 0$，综上所述可得：$I = \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \text dt = \frac{\sqrt{\pi}}2$。

每次遇到这种积分都要这样搞一遍实在是有些麻烦，有没有更系统化的方法呢？经过查阅 Wolfram Alpha，得知这种形式的积分可以使用 Gamma 函数表示。

定义

伽马函数也叫欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数，是阶乘函数在复数域上的延拓。怎么理解这句话呢？首先我们知道阶乘函数定义在正整数离散点上，若对于任何一个非整数，无法使用其定义式求出它的值，因此我们需要对其进行延拓—— 最后得到了如下的定义式：

$$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\text dt$$

现在我们只考虑其在实数域且$x > 0$ 上的情况，毕竟考研只需要这个。

Gamma 函数作为阶乘函数在更广的数域上的延拓，首先它当然满足阶乘函数本来的定义；它具有如下的性质：

• 阶乘函数：$\Gamma(x) = (x - 1)!$
• 递推关系：$\Gamma(x) = (x-1)\Gamma(x-1)$

那么如何证明这两个性质呢？一般有两种常见的做法：

分部积分法

对于$\Gamma(k)$ 的定义式使用分部积分法：

$$\int_0^{+\infty}t^{k-1}e^{-t}\text dt = \frac1{k}\int_0^{+\infty}e^{-t}\text dt^{k} = \frac1{k}\left(e^{-t}t^{k}\Bigg|_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-t}t^{k}\text dt\right)$$

显然，第一项为 0，第二项又是$\Gamma(k+1)$ 的定义式，故：

$$\Gamma(k) = \frac1{k}\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{k} = \frac{\Gamma(k + 1)}{k}$$

就得到了上面性质中说到的递推关系；但是我们现在还缺乏一个初值；对于$\Gamma(1)$：

$$\Gamma(1) = \int_0^{+\infty}e^{-t}\text dt = -e^{-t}\Bigg|_0^{+\infty} = 1$$

结合上面的到的递推公式，就可以得到它和阶乘函数的对应关系。

展开法

这种做法需要一定的技巧性；首先我们可以进行如下的展开：

$$\begin{aligned} &\frac1{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k &,\ |x| < 1\\ &e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} &,\ x \in \R \end{aligned}$$

对于第一个展开式，又有：

$$\frac1{1-x} = \frac1{1-x}\int_0^{+\infty}e^{-t} \text dt = -\frac1{1-x}\int_0^{+\infty}e^{-(1-x)t} \text d[-(1-x)t]$$

综上所述，可得：

$$\frac1{1-x} = \int_0^{+\infty}e^{-t}\cdot e^{xt} \text dt$$

上式右侧的$e^{xt}$ 也可以利用第二个展开式展开为无穷级数：

$$\frac1{1-x} = \sum_{k=0}^\infty x^k = \int_0^{+\infty}e^{-t}\cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{(xt)^k}{k!} \text dt = \sum_{k=0}^\infty \frac{\int_0^{+\infty}e^{-t}\cdot t^k \text dt}{k!} x^k$$

简单地说，就是在一致收敛域$|x|<1$ 上，有：

$$\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{\int_0^{+\infty}e^{-t}\cdot t^k \text dt}{k!} x^k$$

对比系数可得 Gamma 函数的定义式：

$$\Gamma(k+1) = \int_0^{+\infty}e^{-t}\cdot t^k \text dt = k!$$

虽然上述等式需要在一致收敛域上才成立，但是$k$ 才是函数的参数，因此$k\in\R$ 不受限制。

应用

那么，已经知道了 Gamma 函数，我们应该怎么运用到上述的情况中呢？对于积分$I$，我们令$x = \sqrt t$：

$$I = \frac12\int_0^{+\infty} t^{-\frac12}e^{-t} \text dt = \frac12\Gamma(\frac12) = \Gamma(\frac32)$$

因此，我们得到了关键值$\Gamma(\frac12) = \sqrt\pi$。其他的值都可以从这个关键值出发求出；

举例

下面对于几种常见的变换进行示范：

$\int_0^{+\infty} e^{-\frac12x^2}\text dx$

令$x = \sqrt{2t}$，那么有：

$$\int_0^{+\infty} e^{-\frac12x^2}\text dx = \frac1{\sqrt2}\int_0^{+\infty} t^{-\frac12}e^{-t}\text dt = \frac1{\sqrt2}\Gamma(\frac12)$$

我们就可以使用关键值快速求出这个积分值

$\int_0^{+\infty} x^2e^{-\frac12x^2}\text dx$

同理，令$x = \sqrt{2t}$，那么有：

$$\int_0^{+\infty} x^2e^{-\frac12x^2}\text dx = \frac2{\sqrt2}\int_0^{+\infty} t^\frac12e^{-t}\text dt = \sqrt2\Gamma(\frac32)$$

关键在于使用换元法将原积分转化成 Gamma 函数定义式的形式。

查表

常用的类似积分的查表。

部分积分在上面已经进行了推导。

速记

说是速记，其实涉及到了 Gamma 函数的另一种形式；令$t = u^2$：

$$\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\text dt = 2\int_0^{+\infty}u^{2x-1}e^{-u^2}\text du$$

也就得到了 Gamma 函数的另一种表现形式：

$$\frac12\Gamma(x) = \int_0^{+\infty}u^{2x-1}e^{-u^2}\text du$$

这种情况下和原定义不同；当$u$ 的次数增加 2，对应的 Gamma 函数的参数增加 1.

虽然看起来很显然，但是在对于考研中各种类似这个的积分，使用这种形式可以快速建立积分和 Gamma 函数之间的关系，从而使用我们记忆的关键值和定义对积分求解。

后记

原来这玩意不管是在汤家凤的高数讲义上还是在张宇概率论9讲上都有提到啊…… 我学的是个寄吧（）

参考资料

• 伽马函数 - 959 - CSDN博客 - 伽马函数
• 伽玛函数_百度百科 (baidu.com)
• 世界上最美丽的函数——γ函数，一颗数学皇冠上的明珠，可以回答分数阶乘的问题 - 知乎 (zhihu.com)